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<!DOCTYPE html>

</head>

</header>

</div>

Der ASEP (für <a href="Englische_Sprache" title="Englische Sprache">englisch</a> asymmetric simple exclusion process ‚asymmetrischer einfacher Ausschluss-Prozess‘) bezeichnet in der <a href="Mathematik" title="Mathematik">Mathematik</a> und der <a href="Statistische_Physik" title="Statistische Physik">statistischen Physik</a> einen <a href="Stochastischer_Prozess" title="Stochastischer Prozess">stochastischen Prozess</a> und wechselwirkendes Teilchensystem (<a href="Englische_Sprache" title="Englische Sprache">englisch</a> interacting particle system). Er ist der Prototyp eines zufälligen Wachstumsmodell. In der statistischen Mechanik spricht man auch von Nicht-Gleichgewicht-Systemen. Der Prozess beschreibt „Teilchen“ auf einem <a href="Gitter_(Mathematik)" title="Gitter (Mathematik)">Gitter</a>, die mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit von einem Gitterpunkt zu den <a href="Adjazent" class="mw-redirect" title="Adjazent">adjazenten</a> Nachbarn springen, wenn diese noch nicht von einem anderen Teilchen besetzt sind. Jedes Teilchen springt dabei unabhängig von den anderen nach einer eigenen Uhr.

Springen die Teilchen <a href="Fast_sicher" title="Fast sicher">fast sicher</a> nur in eine Richtung, dann nennt man den Prozess TASEP („Totally Asymmetric Simple Exclusion Process“).

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Regeln">Regeln</h2></div>

Einfachheitshalber beschränken wir uns auf einen eindimensionalen Prozess, d. h. einen Prozess auf einer Untermenge von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/786849c765da7a84dbc3cce43e96aad58a5868dc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} }" loading="lazy">.

Rahmenbedingungen:

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4611d85173cd3b508e67077d4a1252c9c05abca2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.499ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle S}" loading="lazy"> sei eine <a href="Abz%C3%A4hlbare_Menge" title="Abzählbare Menge">höchstens abzählbares</a> Gitter. In der Regel ist dies <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S:=\mathbb {Z} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S:=\mathbb {Z} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/93822b0d00f35cbcdb6ac8dc34d71dfd014c180f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.795ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle S:=\mathbb {Z} }" loading="lazy"> oder <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S:=\mathbb {Z} _{+}}">

<msub>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S:=\mathbb {Z} _{+}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/451f857256006d27138ed2c48478da02ce9cb29a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:8.306ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle S:=\mathbb {Z} _{+}}" loading="lazy">.</li>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \eta _{t}=(\eta _{t})_{t\in T}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c9e9ff78c367e8bb0f84fc09e9b70c27f08211e0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.95ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \eta _{t}=(\eta _{t})_{t\in T}}" loading="lazy"> ein Markow-Prozess in kontinuierlicher Zeit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T\subseteq \mathbb {R} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T\subseteq \mathbb {R} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/199af15f1888a8f2e0e9a965459e8e00ba3e8f60.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:6.413ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle T\subseteq \mathbb {R} }" loading="lazy">, der jeder Position <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle i\in S}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle i\in S}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/939944399fbd10a8440736e746193d90a6725781.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.142ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle i\in S}" loading="lazy"> einen Zustand zum Zeitpunkt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle t}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/65658b7b223af9e1acc877d848888ecdb4466560.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.84ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle t}" loading="lazy"> zuordnet:</li></ul>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \eta _{t}(i)=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0806134a8eb7be09cbb2aa6f3b33235295636804.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.854ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \eta _{t}(i)=0}" loading="lazy"> bedeutet, die Position <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle i}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle i}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/add78d8608ad86e54951b8c8bd6c8d8416533d20.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.802ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle i}" loading="lazy"> ist frei.</dd>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \eta _{t}(i)=1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/997d97407fb86e1fb900fad2c4f08296914cd9b4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.854ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \eta _{t}(i)=1}" loading="lazy"> bedeutet, die Position <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle i}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle i}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/add78d8608ad86e54951b8c8bd6c8d8416533d20.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.802ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle i}" loading="lazy"> ist mit einem Teilchen besetzt.</dd></dl></dd>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \eta _{t}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9c5c704deeb3d13eff0896f46d975a51e0352228.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.981ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \eta _{t}}" loading="lazy"> ist somit ein Prozess auf dem Zustandsraum <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Omega =\{0,1\}^{S}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Omega =\{0,1\}^{S}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c1940e016d2d52b30456ecd522bfd6ac4a05319f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.753ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \Omega =\{0,1\}^{S}}" loading="lazy">. Der Prozess wird manchmal auch als <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \eta (t,i)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \eta (t,i)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/900e06685c76c0445e39854324dba81049bda8df.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.655ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \eta (t,i)}" loading="lazy"> modelliert.</dd></dl>

<ul><li>Die Position des <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle i}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle i}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/add78d8608ad86e54951b8c8bd6c8d8416533d20.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.802ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle i}" loading="lazy">-ten Teilchen zum Zeitpunkt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle t}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/65658b7b223af9e1acc877d848888ecdb4466560.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.84ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle t}" loading="lazy"> wird mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{i}(t)}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{i}(t)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/644229f2cfb7cba7444d056ec5176b0d1ab7fc46.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.778ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle x_{i}(t)}" loading="lazy"> notiert, es gilt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{i}(0)=i}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{i}(0)=i}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2f23ae8db5c067e41e7e73d8f6f53b72e1d82381.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.002ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle x_{i}(0)=i}" loading="lazy">. Eine Menge von besetzten Positionen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X=\{x_{1},x_{2},\dots ,x_{N}\}\in S^{N}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X=\{x_{1},x_{2},\dots ,x_{N}\}\in S^{N}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2b61949285d81fe22a472b3326525e915d0821a9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:27.458ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle X=\{x_{1},x_{2},\dots ,x_{N}\}\in S^{N}}" loading="lazy"> für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N\in \mathbb {N} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N\in \mathbb {N} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8b985ba501f78cb9890f3ecda3e2e315cbd5cb26.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.582ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle N\in \mathbb {N} }" loading="lazy"> nennt man Konfiguration. Wir starten in einer Konfiguration <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}" loading="lazy"> mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{1}<x_{2}<\dots <x_{N-1}<x_{N}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{1}<x_{2}<\dots <x_{N-1}<x_{N}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6084ceac192c36b81e331073a9773a7696758ff1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:28.028ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle x_{1}<x_{2}<\dots <x_{N-1}<x_{N}}" loading="lazy">.</li></ul>

Regeln:

<ul><li>Das Wort simple bedeutet, dass das Teilchen an der Position <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}" loading="lazy"> sich höchstens zur nächsten Position <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x+1}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x+1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/16df430ed7a23df9b160a5bbd957f306a0c3baa7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:5.333ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle x+1}" loading="lazy"> oder <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x-1}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x-1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0f1a88d34243b98b57c4df9db5724f61b59a4b9d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:5.333ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle x-1}" loading="lazy"> bewegen darf. Ansonsten spricht man von einem non-simple Prozess.</li>

<li>Jedes Teilchen besitzt einen eigenen <a href="Stochastisch_unabh%C3%A4ngige_Zufallsvariablen" title="Stochastisch unabhängige Zufallsvariablen">unabhängigen</a> inneren Wecker. Dieser klingelt nach einer exponentiell verteilten Zufallszeit mit Ereignisrate <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \lambda =a+b>0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \lambda =a+b>0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b36855c53437d9b90592eaf0e47e5ae5c38baa90.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:13.782ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \lambda =a+b>0}" loading="lazy"> für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a,b\geq 0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a,b\geq 0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9f3f5868710a6f6fa10bf8dd86011e6c85c40073.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.522ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle a,b\geq 0}" loading="lazy">. Das Teilchen springt dann</li></ul>

<dl><dd><ol><li>mit der Wahrscheinlichkeit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p:=a/(a+b)}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p:=a/(a+b)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f1ef720cc9be1486894c2662768f76eea0972760.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; margin-left: -0.089ex; width:14.273ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle p:=a/(a+b)}" loading="lazy"> nach rechts, falls der ausgewählte Platz frei ist,</li>

<li>mit der Wahrscheinlichkeit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle q:=b/(a+b)}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle q:=b/(a+b)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/51f559a655f30a8b3e298cfa2f2e223e7ec9b58a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.852ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle q:=b/(a+b)}" loading="lazy"> nach links, falls der ausgewählte Platz frei ist.</li></ol></dd>

<dd>Das Wort Ausschluss bedeutet, dass eine Regel existiert, wann ein solcher Sprung nicht durchgeführt wird. Sollte die ausgewählte benachbarte Zelle besetzt sein, wird der Sprungversuch verworfen und das Teilchen bleibt auf seinem Platz. Es darf folglich auf jedem Gitterplatz immer nur maximal ein Teilchen vorhanden sein.</dd></dl>

<ul><li>Das Wort asymmetrisch bedeutet, dass <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle q\neq p}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle q\neq p}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b15493bd4b96c9d3ccf0a3e9ca7e8b12b5ae99a0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.337ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle q\neq p}" loading="lazy"> gelten muss. Ansonsten hat man einen SSEP (<a href="Englische_Sprache" title="Englische Sprache">englisch</a> symmetric simple exclusion process). Prozesse der Form <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle q={\tfrac {1}{2}}(1-\varepsilon ^{1/2})}">

<mfrac>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle q={\tfrac {1}{2}}(1-\varepsilon ^{1/2})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/636e00a51daac6e88181c1013a7a38f6eaca35c6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:15.42ex; height:3.676ex;" alt="{\displaystyle q={\tfrac {1}{2}}(1-\varepsilon ^{1/2})}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p={\tfrac {1}{2}}(1+\varepsilon ^{1/2})}">

<mfrac>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p={\tfrac {1}{2}}(1+\varepsilon ^{1/2})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/cd38bd48b0344db1b618a3249f281c01d5ad66b8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; margin-left: -0.089ex; width:15.609ex; height:3.676ex;" alt="{\displaystyle p={\tfrac {1}{2}}(1+\varepsilon ^{1/2})}" loading="lazy"> nennt man auch weakly ASEP (WASEP).</li></ul>

Als Übergangswahrscheinlichkeiten für ein Teilchen an der Position <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}" loading="lazy"> ergeben sich somit

<msub>

</mrow>

</msub>

<mrow>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

<mtext>falls </mtext>

</mrow>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

<mtext>falls </mtext>

</mrow>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

<mtext>falls </mtext>

</mrow>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p_{t}(x,y)={\begin{cases}q,&{\text{falls }}y=x-1{\text{ und }}\eta _{t}(y)=0,\\p,&{\text{falls }}y=x+1{\text{ und }}\eta _{t}(y)=0,\\1,&{\text{falls }}y=x{\text{ und }}\eta _{t}(x+1)=1,\;\eta _{t}(x-1)=1,\\0&sonst.\end{cases}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/47ac74cfa9f68093a74f41b245ba28cee2a14057.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -5.171ex; margin-left: -0.089ex; width:61.85ex; height:11.509ex;" alt="{\displaystyle p_{t}(x,y)={\begin{cases}q,&{\text{falls }}y=x-1{\text{ und }}\eta _{t}(y)=0,\\p,&{\text{falls }}y=x+1{\text{ und }}\eta _{t}(y)=0,\\1,&{\text{falls }}y=x{\text{ und }}\eta _{t}(x+1)=1,\;\eta _{t}(x-1)=1,\\0&sonst.\end{cases}}}" loading="lazy"></dd></dl>

Oft interessiert man sich auch für die Übergangswahrscheinlichkeit, von einer Konfiguration <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}" loading="lazy"> nach einer bestimmten Zeit in der Konfiguration <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Y}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Y}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/961d67d6b454b4df2301ac571808a3538b3a6d3f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.171ex; width:1.773ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle Y}" loading="lazy"> zu landen.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="TASEP">TASEP</h3></div>

Die Spezialfälle

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle q=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/654c2d5dc1a26e0af36dc0deb5fd252c6178977a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.33ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle q=0}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p=1}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p=1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c29a2f2fb3f642618036ed7a79712202e7ada924.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:5.52ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle p=1}" loading="lazy">, d. h., die Teilchen springen nur nach rechts,</dd>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle q=1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/785938d022f0b0b0bf4b3afa5e1cedceab7a3874.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.33ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle q=1}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p=0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b3e6ac10fa45fb984d886065f959a6bdd467b5e8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:5.52ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle p=0}" loading="lazy">, d. h., die Teilchen springen nur nach links,</dd></dl>

werden als TASEP bezeichnet. Manchmal wird jedoch auch hierfür schlicht der Begriff ASEP verwendet.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Resultate">Resultate</h3></div>

<ul><li>Für den TASEP fand <a href="Gunter_M._Sch%C3%BCtz" title="Gunter M. Schütz">Schütz</a> 1997 die Übergangswahrscheinlichkeiten in determinataler Form für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f5e3890c981ae85503089652feb48b191b57aae3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.064ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle N}" loading="lazy"> Teilchen (wobei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N\neq \infty }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N\neq \infty }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/56313a546926be9632377935135fd2c5208885cd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.486ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle N\neq \infty }" loading="lazy">).<a href="#cite_note-1">[1]</a></li>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S=\mathbb {Z} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/efeaec724bec43fb07c07fafcf6f8c7d2211f3fe.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.148ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle S=\mathbb {Z} }" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \lambda =1}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \lambda =1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/543b4490416437b7c80ea473bbcac0e4ab7a7f11.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.616ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \lambda =1}" loading="lazy">, dann wurde eine Formel für die Übergangswahrscheinlichkeit einer Konfiguration <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}" loading="lazy"> nach <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Y}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Y}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/961d67d6b454b4df2301ac571808a3538b3a6d3f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.171ex; width:1.773ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle Y}" loading="lazy"> von Tracy und Widom gefunden.<a href="#cite_note-2">[2]</a></li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Sonstiges">Sonstiges</h3></div>

Bei Betrachtungen von offenen Systemen werden oft am linken Rand Teilchen mit der Wahrscheinlichkeit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \alpha }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b79333175c8b3f0840bfb4ec41b8072c83ea88d3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.488ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \alpha }" loading="lazy"> eingefügt (wenn der Platz frei ist) und am rechten mit der Wahrscheinlichkeit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \beta }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \beta }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7ed48a5e36207156fb792fa79d29925d2f7901e8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.332ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \beta }" loading="lazy"> aus dem System herausgenommen.

Auf dem Computer lässt sich der Prozess durch folgenden <a href="Algorithmus" title="Algorithmus">Algorithmus</a> definieren. Es erfolgt ein zufällig-sequentieller Update, bei dem

die folgenden zwei Schritte beliebig oft wiederholt werden:

<ol><li>Wähle zufällig ein Teilchen aus.</li>

<li>Dieses Teilchen bewegt sich mit der Wahrscheinlichkeit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/81eac1e205430d1f40810df36a0edffdc367af36.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:1.259ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle p}" loading="lazy"> eine Zelle nach rechts, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle q}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle q}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/06809d64fa7c817ffc7e323f85997f783dbdf71d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.07ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle q}" loading="lazy"> nach links. Sollte die ausgewählte benachbarte Zelle besetzt sein, wird der Versuch nicht durchgeführt.</li></ol>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Zusammenhang_mit_anderen_Systemen">Zusammenhang mit anderen Systemen</h2></div>

Der TASEP mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p=1}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p=1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c29a2f2fb3f642618036ed7a79712202e7ada924.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:5.52ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle p=1}" loading="lazy"> unterscheidet sich von Regel 184 der <a href="Stephen_Wolfram" title="Stephen Wolfram">Wolfram</a>-<a href="Zellul%C3%A4rer_Automat" title="Zellulärer Automat">Zellularautomaten</a> – und damit von der einfachsten Version des <a href="Nagel-Schreckenberg-Modell" title="Nagel-Schreckenberg-Modell">Nagel-Schreckenberg-Modells</a> – nur durch das zufällige sequentielle Update. Würde man ein paralleles Update wählen, d. h. also nach der Regel „Bewege alle Teilchen auf dem Gitter, deren rechter Gitterplatz frei ist, eine Position nach rechts“ Runde um Runde vorgehen, ergäbe sich also exakt Regel 184. Einziger Unterschied wäre die symmetrische Interpretation weißer und schwarzer Zellen bei Wolfram im Vergleich zur Vorstellung von „Teilchen“ und „leerer Platz“ beim ASEP. Die Dynamik würde sich von Regel 184 jedoch in keiner Weise unterscheiden.

Bei sogenannten „Correlated Random Walks“ ist die Asymmetrie in der Bewegung nicht an eine feste Richtung geknüpft, sondern an die Richtung des letzten Schrittes. Meist wird in solchen Systemen eine Tendenz zum Erhalt der Bewegungsrichtung angenommen. Ein Teilchen, das zuletzt nach rechts bewegt wurde, wird auch im nächsten Schritt mit einer Wahrscheinlichkeit größer 0,5 nach rechts bewegt werden.

In einem bestimmten Fluktuations-Bereich und einer gewissen Skalierung wird die Fluktuation der ASEP durch die <a href="Burgersgleichung" title="Burgersgleichung">Burgersgleichung</a> beschrieben.<a href="#cite_note-3">[3]</a> Allgemeiner befindet sich TASEP in der KPZ-Universalitätsklasse, unter bestimmter Skalierung konvergiert der TASEP gegen die <a href="Kardar-Parisi-Zhang-Gleichung" title="Kardar-Parisi-Zhang-Gleichung">Kardar-Parisi-Zhang-Gleichung</a> (kurz: KPZ-Gleichung) und zum <a href="KPZ-Fixpunkt" title="KPZ-Fixpunkt">KPZ-Fixpunkt</a>. Der ASEP kann als diskrete Variante der Burgersgleichung verstanden werden und seine Höhenfunktion als diskrete Variante der KPZ-Gleichung.<a href="#cite_note-4">[4]</a>

Darüber hinaus gibt es eine Vielzahl von weiteren Abbildungen auf andere Systeme, z. B. auf Polymere in ungeordneten Systemen oder das Bernoulli-Matching-Modell für den Vergleich von Gensequenzen.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Geschichte_und_Analyse">Geschichte und Analyse</h2></div>

Der ASEP wurde von Carolyn T. MacDonald, Julian H. Gibbs, und Allen C. Pipkin 1968 zum ersten Mal formuliert und zwar als mathematisches Modell für die Kinetik der Proteinsynthese durch <a href="Ribosom" title="Ribosom">Ribosomen</a>. 1970 wurde er unabhängig davon von <a href="Frank_Spitzer" title="Frank Spitzer">Frank Spitzer</a> erstmals in der mathematischen Literatur eingeführt. Das Ziel war dabei, makroskopisches hydrodynamisches Verhalten exemplarisch aus einem mikroskopischen Modell rigoros herzuleiten. Joachim Krug entdeckte 1991 <a href="Phasen%C3%BCbergang" title="Phasenübergang">Phasenübergänge</a> im ASEP, die von der Rate des Einsetzens (am linken Rand) und Herausnehmens (am rechten Rand) der Teilchen abhängen.

<a href="Bernard_Derrida" title="Bernard Derrida">Bernard Derrida</a> und Mitarbeiter einerseits und <a href="Gunter_M._Sch%C3%BCtz" title="Gunter M. Schütz">Gunter M. Schütz</a> mit Eytan Domany andererseits fanden 1993 unabhängig voneinander eine exakte Lösung für den ASEP. 2010 gelang es Tomohiro Sasamoto und <a href="Herbert_Spohn" title="Herbert Spohn">Herbert Spohn</a>, mit Hilfe des ASEP eine exakte Lösung der KPZ-Gleichung mit weißem Rauschen zu konstruieren.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Bedeutung">Bedeutung</h2></div>

Der ASEP dient dazu, das Verhalten von Vielteilchensystemen fern vom <a href="Thermodynamisches_Gleichgewicht" title="Thermodynamisches Gleichgewicht">thermischen Gleichgewicht</a> exemplarisch zu studieren. Insbesondere erlangt man einerseits auf mikroskopischer Ebene ein detailliertes Verständnis für statistische Ensembles und andererseits lässt sich verständlich machen, wie makroskopische Dynamik von Dichteverteilungen aus mikroskopischen Wechselwirkungen zwischen einzelnen Teilchen hervorgehen. Insbesondere erkennt man, wie Dichtediskontinuitäten mit 'Verkehrsstaus' von Teilchen zusammenhängen, wie sich deterministisches Verhalten auf makroskopischer aus zufälliger Dynamik auf der mikroskopischen Ebene ergibt und schließlich lassen sich auch universelle Eigenschaften von Fluktuationen detailliert studieren. Zur Erforschung des ASEP stehen eine Vielzahl von mathematisch exakten Methoden zur Verfügung, die auch dann greifen, wo die sehr beschränkten traditionellen Methoden der Nichtgleichgewichtsthermodynamik versagen.

Für konkrete Anwendungen ist der ASEP zu einfach, um irgendein reales System realistisch zu simulieren. Seine Bedeutung liegt dann darin, dass er zum einen als Abstraktion bzw. Vereinfachung einer Reihe realitätsnaher Simulationsmodelle betrachtet werden kann und dass er zum anderen – im Gegensatz zu den meisten realitätsnahen Simulationsmodellen – analytischen Untersuchungsmethoden zugänglich ist. Diese realitätsnahen mit ASEP verwandten Modelle existieren in sehr unterschiedlichen Gebieten wie der Fortbewegung von <a href="Ameisen" title="Ameisen">Ameisen</a>, der <a href="Biopolymer" title="Biopolymer">Biopolymerisation</a>, der <a href="Evakuierungssimulation" class="mw-redirect" title="Evakuierungssimulation">Fußgängerdynamik</a>, <a href="Molekulare_Maschine" title="Molekulare Maschine">molekularen Motoren</a>, dem Wachstum von <a href="Adsorption" title="Adsorption">Oberflächen</a>, der Proteinsynthese und dem <a href="Nagel-Schreckenberg-Modell" title="Nagel-Schreckenberg-Modell">Straßenverkehr</a>. Für bestimmte Simulationsansätze in diesen und anderen Bereichen erfüllt der ASEP daher die Funktion einer <a href="Drosophila_melanogaster" title="Drosophila melanogaster">Drosophila</a>.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Literatur">Literatur</h2></div>

<ul><li>C.T. MacDonald, J.H. Gibbs, A.C. Pipkin, Kinetics of biopolymerization on nucleic acid templates, Biopolymers 6, 1–25 (1968).</li>

<li>F. Spitzer: Interaction of Markov processes. Adv. Math. 5, 246–290 (1970)</li>

<li>J. Krug: Boundary-induced phase transitions in driven diffusive systems. Phys. Rev. Lett. 67, 1882 (1991). <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.67.1882">10.1103/PhysRevLett.67.1882</a></li>

<li>B. Derrida: An exactly soluble non-equilibrium system: the asymmetric simple exclusion process. Phys. Rep., 301, 65–83 (1998). <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1016/S0370-1573%2898%2900006-4">10.1016/S0370-1573(98)00006-4</a></li>

<li>T.M. Liggett: Stochastic Interacting Systems: Contact, Voter and Exclusion Processes. Springer, Berlin, 1999.</li>

<li>G.M. Schütz: Exactly solvable models for many-body systems far from equilibrium in C. Domb and J. Lebowitz, eds, `Phase Transitions and Critical Phenomena' Vol. 19, 1–251, Academic Press London, 2001.</li>

<li>T. Sasamoto and H. Spohn: One-Dimensional Kardar-Parisi-Zhang Equation: An Exact Solution and its Universality. Phys. Rev. Lett. 104, 230602 (2010).</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Weblinks">Weblinks</h2></div>

<ul><li><a rel="nofollow" class="external text" href="https://arxiv.org/find/grp_q-bio,grp_cs,grp_physics,grp_math,grp_nlin/1/OR+all:+EXACT+Asymmetric_Simple_Exclusion_Process+all:+ASEP/0/1/0/all/0/1">Suche nach Veröffentlichungen zum ASEP bei arXiv.org</a></li>

<li><a rel="nofollow" class="external text" href="https://scholar.google.com/scholar?hl=en&lr=&q=%22Asymmetric+simple+exclusion+process%22&btnG=Search">Suche nach Veröffentlichungen zum ASEP bei Google Scholar</a></li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einzelnachweise">Einzelnachweise</h2></div>

<li id="cite_note-1"><a href="#cite_ref-1">↑</a> Gunter M. Schütz: <cite style="font-style:italic">Exact solution of the master equation for the asymmetric exclusion process</cite>. In: Springer Science and Business Media LLC (Hrsg.): <cite style="font-style:italic">Journal of Statistical Physics</cite>. Band 88, Nr. 1–2, 1997, S. 427--445, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1007/bf02508478">10.1007/bf02508478</a>.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:ASEP&rft.atitle=Exact+solution+of+the+master+equation+for+the+asymmetric+exclusion+process&rft.au=Gunter+M.+Sch%C3%BCtz&rft.date=1997&rft.doi=10.1007%2Fbf02508478&rft.genre=journal&rft.issue=1-2&rft.jtitle=Journal+of+Statistical+Physics&rft.pages=427--445&rft.volume=88" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-2"><a href="#cite_ref-2">↑</a> Craig A. Tracy und Harold Widom: <cite style="font-style:italic">Integral Formulas for the Asymmetric Simple Exclusion Process</cite>. In: Springer Science and Business Media (Hrsg.): <cite style="font-style:italic">Communications in Mathematical Physics</cite>. Band 279, Nr. 3, 2008, S. 815--844, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1007/s00220-008-0443-3">10.1007/s00220-008-0443-3</a>.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:ASEP&rft.atitle=Integral+Formulas+for+the+Asymmetric+Simple+Exclusion+Process&rft.au=Craig+A.+Tracy+und+Harold+Widom&rft.date=2008&rft.doi=10.1007%2Fs00220-008-0443-3&rft.genre=journal&rft.issue=3&rft.jtitle=Communications+in+Mathematical+Physics&rft.pages=815--844&rft.volume=279" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-3"><a href="#cite_ref-3">↑</a> Lorenzo Bertini und Giambattista Giacomin: <cite style="font-style:italic">Stochastic Burgers and KPZ Equations from Particle Systems</cite>. In: <cite style="font-style:italic">Comm Math Phys</cite>. Band 183, 1997, S. 571–607, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1007/s002200050044">10.1007/s002200050044</a> (<a rel="nofollow" class="external text" href="https://projecteuclid.org/journals/communications-in-mathematical-physics/volume-183/issue-3/Stochastic-Burgers-and-KPZ-equations-from-particle-systems/cmp/1158328658.full">projecteuclid.org</a>).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:ASEP&rft.atitle=Stochastic+Burgers+and+KPZ+Equations+from+Particle+Systems&rft.au=Lorenzo+Bertini+und+Giambattista+Giacomin&rft.btitle=Comm+Math+Phys&rft.date=1997&rft.doi=10.1007%2Fs002200050044&rft.genre=book&rft.pages=571-607&rft.volume=183" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-4"><a href="#cite_ref-4">↑</a> Jeremy Quastel: <cite style="font-style:italic">Weakly Asymmetric Exclusion and KPZ</cite>. In: <cite style="font-style:italic">Proceedings of the International Congress of Mathematicians</cite>. <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1142/9789814324359_0147">10.1142/9789814324359_0147</a>.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:ASEP&rft.atitle=Weakly+Asymmetric+Exclusion+and+KPZ&rft.au=Jeremy+Quastel&rft.btitle=Proceedings+of+the+International+Congress+of+Mathematicians&rft.doi=10.1142%2F9789814324359_0147&rft.genre=book" style="display:none">

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